GEOMETRIA ANALíTICA : RETA

EQUAÇÃO GERAL DA RETA

Dados 2 pontos quaisquer, sabemos que por eles passa apenas 1 reta.

Exemplo: A (2, 3) B (2, 1). Determine a equação da reta que passa por A e B:

Calculando o determinante entre esses dois pontos, teremos o seguinte resultado: 2x - 4 = 0

| x     y    1|  

| Xa  Ya  1| = 0        

| Xb  Yb  1|

| x y 1 | x y 

| 2 3 1 | 2 3             

| 2 1 1 | 2 1 

(3x + y + 2) - (6 + x + 2y) = 3x + 2y + 2 - 6 - x - 2y = 2x - 4 (essa é a equação geral da reta) 

INTERSECÇÃO ENTRE RETAS

(r) 2x - 5y = 0

(s) x + 2y - 9 = 0

Temos, portanto, duas equações:

2x - 5y = 0

x + 2y = 9

Multiplicando a segunda equação por (-2), ficamos com:

2x - 5y = 0

-2x - 4y = -18

Podemos cortar o 2x com o -2x, ficando com as equações:

- 5y = 0

-4y = -18

Agora vamos somar o que sobrou:

-5y + (-4y) = 0 + (-18)

-9y = -18

y = -18/-9

y = 2 (positivo)

Quando temos uma divisão com ambos os números negativos, ignoramo-los e deixamos o resultado positivo. 

Agora que achamos o valor de Y (2), podemos pegar uma das equações. Nesse caso, a primeira:

2x - 5y = 0

2x - 5 . 2 = 0

2x - 10 = 0

2x = 10

x = 10/2 = 5

o X, portanto, vale 5; e o Y vale 2

A intersecção entre essas retas vale: P (5, 2).  :)

EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA

Temos uma equação geral, por exemplo:

4x - y - 5 = 0

Para acharmos a equação reduzida da reta, isolamos o y

y = 4x - 5 (essa é a equação reduzida)

GERAL = ax + by + c = 0

REDUZIDA = y = ax + b

COEFICIENTE ANGULAR

Fórmula:

m = yB - yA / xB - xA

Pontos: A (2, 3) e B(1, -1)

m = -1-3/1-2 = -4/-1 = 4

O coeficiente angular é 4.

EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS

Quando relacionamos as variáveis x e y com uma terceira: "t", denominada parâmetro.

Ex:

x = 4t

y = 3t + 1

Nós temos que x = 4t

4t = x

t, então, é = x/4

jogando na segunda equação:

y = 3t + 1

y = 3 . x/4 + 1

y = 3x/4 + 1

Essa é a equação paramétrica.

EQUAÇÕES SEGMENTÁRIAS

Quando sabemos os pontos onde a reta intercepta os eixos x e y.

r: x/a + y/b = 1

4 está no eixo das ordenadas (y) e 3 está no eixo das abscissas (x); imagine isso em um gráfico, uma reta

Pondo na fórmula:

r = x/3 + y/4 = 1

multiplicando cruzado e tirando o mínimo múltiplo comum:

4x + 3y/12 = 12/12

Cortando os denominadores: 4x + 3y - 12 = 0

Essa é a equação segmentária.